Who will build the Third Bet HaMikdash?

How the Third Temple will be constructed is an interesting topic of discussion, and hopefully one that will be relevant in the coming days. There are two main approaches, that of the Rambam, and that of Rash"i and Tosafot. 

The Rambam clearly believed that the responsibility of building the Third Temple lies among us, the Jewish people. He writes:

רמב"ם פ"א מהל' בית הבחירה הלכה א 

מִצְוַת עֲשֵׂה לַעֲשׂוֹת בַּיִת לַה', מוּכָן לִהְיוֹת מַקְרִיבִים בּוֹ הַקָּרְבָּנוֹת, וְחוֹגְגִין אֵלָיו שָׁלוֹשׁ פְּעָמִים בַּשָּׁנָה--שֶׁנֶּאֱמָר "וְעָשׂוּ לִי, מִקְדָּשׁ" (שמות כה,ח); וּכְבָר נִתְפָּרַשׁ בַּתּוֹרָה מִשְׁכָּן שֶׁעָשָׂה מֹשֶׁה רַבֵּנוּ, וְהָיָה לְפִי שָׁעָה--שֶׁנֶּאֱמָר "כִּי לֹא-בָאתֶם, עַד-עָתָּה . . ." (דברים יב,ט). 

Rambam Laws of the Temple 1:1 

It is a positive commandment to build a house for God, where sacrifices will be brought and holidays will be celebrated three times a year....

Likewise, the Rambam writes elsewhere:

הלכות מלכים ומלחמות פ' י"א הל' א 

 הַמֶּלֶךְ הַמָּשִׁיחַ עֲתִיד לַעֲמֹד, וּלְהַחְזִיר מַלְכוּת בֵּית דָּוִיד לְיָשְׁנָהּ הַמֶּמְשָׁלָה הָרִאשׁוֹנָה, וּבוֹנֵה מִקְדָּשׁ, וּמְקַבֵּץ נִדְחֵי יִשְׂרָאֵל. 

 Laws of Kings and of War 11:1  

The Melech HaMashiach will rise up, reinstate the Davidic dynasty and its original government, build the temple, and gather the people of Israel to their home.

There is, however, a second school of thought that believed that the third Temple will descend fully constructed out of the heavens. The responsibility to construct the next Bet HaMikdash lies not upon us but upon Hashem Himself. This is the opinion of Rash"i and the Tosafot (Succah 41a). This opinion is based of a collection of Midrashe Aggada, such as the following:

פסיקתא רבתי סי' כח 

אין נוטה עוד אהלי [ומקים יריעותי] (ירמיה י י), מהו, וכי אין בית המקדש עתיד ליבנות, אלא אין נוטה עוד אהלי מכם ואין מקים יריעותי מכם, אלא מקדש ראשון שבנאו בשר ודם נפל ביד שונא אבל מקדש אחרון שהקדוש ברוך הוא בונה אותו שנאמר בונה ירושלים ה' נדחי ישראל יכנס (תהלים קמ"ז ב') שוב לא יחרב לכך נאמר אהלי שודד וגו'. 

According to this opinion, the Bet Hamikdash will descend from the heaven constructed and assembled when the time is right. 

When asked to decide between the two opinions, A"A quotes the following opinion of Rav Yaakov Ettlinger (1798-1871):

ערוך לנר למסכת סוכה דף מא ע"א 

ולכן הי' נלענ"ד דודאי ביהמ"ק לעתיד לבא יבנה בנין ממש בידי אדם ומה שנאמר מקדש ד' כוננו ידיך שנדרש בתנחומא שירד למטה הוא ביהמ"ק רוחני שיבא לתוך ביהמ"ק הנבנה גשמי כנשמה בתוך הגוף וכמו שירד במשכן ובבית המקדש האש של מעלה תוך האש של הדיוט שנבער בעצים וכן נראה במכילתא דדרש מפסוק מכון לשבתך פעלת ד' שבית המקדש של מעלה מכוון כנגד בית המקדש של מטה ועל זה קאמר מקדש ד' כוננו ידיך שלעתיד לבא כשימלוך ד' לעולם ועד לעיני כל באי עולם ישכון למטה בתוך מקדש שכבר בנוי הוא ומכוון כנגד ביהמ"ק של מטה והיינו שירד למטה תוך המקדש שיבנה ועיין בזוהר פ' וישב שמשמע שם כן אמנם כמו שלמטה בארץ אין נשמה בלא גוף כמו כן המקדש רוחני לא יקום בלא מקדש גשמי ולכן א"ש הלשון בנין בביהמ"ק שלעתיד ג"כ 

Arukh Laner (Succah 41a)  

In my opinion, the physical building of third temple will definitely be constructed by mankind. The Midrashim that say that the Temple will be prepared by God and descend from heaven are referring to a spiritual Bet HaMikdash which will descend and occupy the physical Bet HaMikdash the way a soul occupies a physical body. This is akin to how a heavenly fire used to descend during times of the Mishkan and previous Bet HaMikdash into the flames that were kindled [by the Kohanim] on the Mizbeach......

In summary, this opinion combines the two- while the physical third Bet HaMikdash will be constructed by mankind, the spiritual aspect of it will descend from Heaven. We cannot wait around forever until a Temple falls out of the sky for us. We must do our part when the time comes, build the walls and the roof, and hope that Hashem accepts our construction and fills our building the spiritual aspect that it requires to function properly. 

(For those who remain unsatisfied, here's an excellent article with more details and sources that address this question.)

Silk gloves and savory goat

פסחים דף נז ע"א

תנו רבנן: ארבע צווחות צוחה עזרה ... ועוד צווחה צא מיכן יששכר איש כפר ברקאי שמכבד את עצמו ומחלל קדשי שמים דהוה כריך ידיה בשיראי ועביד עבודה ... ועוד צווחה העזרה שאו שערים ראשיכם ויכנס יוחנן בן נרבאי תלמידו של פנקאי וימלא כריסו מקדשי שמים אמרו עליו על יוחנן בן נרבאי שהיה אוכל ג' מאות עגלים ושותה ג' מאות גרבי יין ואוכל ארבעים סאה גוזלות בקינוח סעודה אמרו כל ימיו של יוחנן בן נרבאי לא נמצא נותר במקדש...

מאי סלקא ביה ביששכר איש כפר ברקאי אמרי מלכא ומלכתא הוו יתבי מלכא אמר גדיא יאי ומלכתא אמרה אימרא יאי אמרו מאן מוכח כהן גדול דקא מסיק קרבנות כל יומא אתא איהו אחוי בידיה אי גדיא יאי יסק לתמידא אמר מלכא הואיל ולא הוי ליה אימתא דמלכותא ניפסקו לימיניה יהב שוחד ופסקיה לשמאליה שמע מלכא ופסקיה לימיניה 

 

Pesachim 57a-b

Our Rabbis taught: The Bet Hamikdash would cry out about four incidents.... The second cry was over Yissachar the Cohen who used to honor himself and degrade the korbanot by refusing to touch them without his silk gloves on first [so as not to dirty himself], and "that incident" happened to him because of it... The fourth cry was over Yohanan b. Narbai who would eat 300 calves and drink 300 gallons of wine, and finish it off with 40 barrels of doves for dessert. They say that in all his days, there were never any leftovers in the Bet Hamikdash....

What was "that incident" that happened to Yissachar the Cohen? Once, the king and queen got into an argument.
"Goat meat is the best meat!" the king posited.
"What are you insane?" the queen responded, "Sheep is much tastier!"
They called Yissachar the Cohen to settle their debate, considering the fact that his job involved eating sheep and goat meat all day.
"Which meat is better?" they asked him.
Yissachar waved his hand dismissively at the king and said, "If goat meat was really better like you claim, God would have chosen it for the Korban Tamid instead of sheep."
The king got offended by his hand wave, which he understood to be a gesture of disrespect. "Off with his hand!!" he shouted.
They carted Yissachar off to the dungeon to receive his punishment. Yissachar bribed the warden so he would cut off his left hand instead of his right. The king found out, and had them cut off Yissachar's right hand too,

Thus, Yissachar the Cohen was justly punished for refusing to "dirty" his hands with the korbanot. Aharon, on the other hand, was eager to clean out the filthy, sooty residue from the menora each day. Likewise, David HamMelech would gladly handle all sorts of bodily fluids to determine if a woman was tehora or not (Berachot 4a). When it comes to Torah, we must embrace it in its entirety without allowing aspects of it to disgust us or gross us out.

Supply & Demand

יומא לח.

 תנו רבנן בית גרמו היו בקיאין במעשה לחם הפנים ולא רצו ללמד שלחו חכמים והביאו אומנין מאלכסנדריא של מצרים והיו יודעין לאפות כמותן ולא היו יודעין לרדות כמותן שהללו מסיקין מבחוץ ואופין מבחוץ והללו מסיקין מבפנים ואופין מבפנים הללו פיתן מתעפשת והללו אין פיתן מתעפשת כששמעו חכמים בדבר אמרו כל מה שברא הקב"ה לכבודו בראו שנאמר (ישעיהו מג) כל הנקרא בשמי ולכבודי בראתיו וחזרו בית גרמו למקומן שלחו להם חכמים ולא באו כפלו להם שכרן ובאו בכל יום היו נוטלין שנים עשר מנה והיום עשרים וארבעה ר' יהודה אומר בכל יום עשרים וארבעה והיום ארבעים ושמונה אמרו להם חכמים מה ראיתם שלא ללמד אמרו להם יודעין היו של בית אבא שבית זה עתיד ליחרב שמא ילמוד אדם שאינו מהוגן וילך ויעבוד <עבודת כוכבים> {עבודה זרה} בכך ועל דבר זה מזכירין אותן לשבח מעולם לא נמצאת פת נקיה ביד בניהם שלא יאמרו ממעשה לחם הפנים זה ניזונין לקיים מה שנאמר (במדבר לב) והייתם נקיים מה' ומישראל

 Yoma 38a
The Garmu family was proficient in baking the lechem hapanim for the Bet Hamikdash, and they refused to teach anyone else their methods. [Fed up with their hold on the practice,] the Rabbanim imported experts from Alexandria, Egypt to replace them. They were able to bake bread like the Garmu family, but they couldn't maneuver the equipment properly. The Alexandrian lechem hapanim would spoil, but the Garmu family's wouldn't. The Rabbanim saw that they were out of options and invited the Garmu family back to their position. They refused. The Rabbanim doubled their wages, and they accepted. They were originally paid 12 maneh for a job and now it became 24. (Ribbi Yehuda says that they were originally paid 24 and now it became 48.)
"Why don't you teach anyone else your proficiency?" The Rabbanim asked them.
"We have a tradition that the Bet Hamikdash will one day be destroyed. We are concerned that our expertise will be used in houses of idol worship if its secret leaves our family, so we guard it jealously."
They themselves never ate fine bread in their home, so nobody could suspect them of utilizing their skills for their own benefit. 

The mishnah quotes this as an example of a family that was remembered negatively. Although their jealously was properly motivated (which was to their merit, according to the berayta) their approach was wrong. And their fee was undoubtedly obscene. A"A uses this as a classic example of people who take the phrase "לעסוק בדברי תורה" the wrong way.